TOPIC:

Fonksiyonların, A kümesindeki bir x elemanını verilen bir kurala göre B kümesindeki bir y elemanına eşlediğini öğrendik. İşlem de buna benzer olarak, fakat AxA dan aldığı elemanları verilen bir kurala göre B kümesindeki bir elemana eşlemektedir.Sonuç olarak işlem özel bir bağıntıdır. Verilen sıralı ikilileri tek bir elemana götürmektedir.



Tanım: A ¹ Æ ve A Ì B olsun. AxA nın boş kümeden farklı herhangi bir alt kümesinden B ye tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya işlem denir.

İşlemler *,,D... gibi sembollerle gösterilir.



Not: AxA dan A ya tanımlanan fonksiyona A da işlem denir.

Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanmış olan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin her biri bir işlemdir.


Örnek: A ={1,2,3} o.ü. (x,y) Î AxA için x*y = x şeklinde tanımlanan * işleminin şemasını ve tablosunu çizelim.

AxA ={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} o.ü.
1*1=1 2*1=2 3*1=3
1*2=1 2*2=2 3*2=3
1*3=1 2*3=2 3*3=3


Örnek: A ={0,1,2} ve B ={-2,-1,0,1,2} o.ü.

kuralı ile verilen * işleminin tablosunu oluşturalım. inceleyelim.



0*0 = 0 1*0 = 1 2*0 = 2
0*1 = -1 1*1 = 0 2*1 = 1
*2 = -2 1*2 = -1 2*2 = 0


Örnek: A ={-1,0,1} ve AxA nın bir alt kümesi
b={(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)} olmak üzere
*: b A, x*y = x+y işleminin şemasını ve tablosunu çiziniz.


Örnek: A ={0,2,4,6} kümesi üzerinde x,y Î A için x*y = 2x-y+1 biçiminde * işlemi tanımlanıyor. Buna göre aşağıdakileri bulunuz.
a. 0*2=?
b. 0*6=?
c. 4*0=?
d. 6*2=?
e. 6*4=?
a. 0*2 = 2.0-2+1 = -1
b. 0*6 = 2.0-6+1 = -5
c. 4*0 = 2.4-0+1 = 9
d. 6*4 = 2.6-4+1 = 9


Örnek: A ={-1,0,1,2,3} kümesi üzerinde tanımlanan * işleminin tablosu aşağıdaki gibidir. Buna göre aşağıdaki istenen değerleri bulunuz.
-1*2 = ?
-1*-1 = ?
0*0 = ?
2*1 = ?
3*2 = ?
1*3 = ?

-1 * 2 = 0
-1 * -1 = -3
0 * 0 = 0
2 * 1 = 5
3 * 2 = 8
1 * 3 = 5

Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan
x*y = -x+2y ve xoy = x2+y işlemleri için 1*(2o4) =? değerini bulunuz. bilgi yelpazesi.com

1 * (2o4) = 1 * ( 22+4) = 1 * 8 = -1 +2.8 = -1 + 16 = 15 bulunur.

Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde biçimindeki * işlemi tanımlanıyor.
m*1 = 5 olduğuna göre m değerini bulunuz.

m * 1 = m1+1 = 5 Þ m+1 = 5 Þ m = 4 olarak bulunur.


Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde x*y = 4x-2y biçimindeki * işlemine göre
m*n = 10 ve n*m = -2 olduğuna göre n+m = ?


Böylece n+m = 3+1 = 4 olur.


İŞLEMİN ÖZELİKLERİ

A. KAPALILIK ÖZELİĞİ

Tanım: *, A kümesinde tanımlı bir işlem olsun. "x,y Î A için x*y ÎA ise , A kümesi “*” işlemine göre kapalıdır denir.
["(x,y) Î A için x*y = z Î A] olmalıdır.

Örnek: A ={0,1} kümesi üzerinde tanımlı x*y = x.y işleminin kapalı olup olmadığını inceleyiniz.

Küme sınırlı olduğu için işlemin tablosunun çizelim.
Tablodan da görüldüğü gibi "x,y Î A için x * y Î Adır. Böylece A kümesi * işlemine göre kapalıdır.

Örnek: Ç ={0,2,4,6,....} kümesi üzerinde tanımlı x*y = x+y işleminin kapalı olup olmadığını inceleyiniz.
"x,y Î Ç için x * y = x+y Î Ç oluyorsa Ç kümesi * işlemine göre kapalıdır diyeceğiz.
Ç den alacağımız elemanlar çift sayı olduğundan ve iki çift sayının toplamı daima çift sayı olduğundan * işlemine göre Ç kümesi kapalıdır.

Örnek: Z tam sayılar kümesi (+) toplama işlemine göre kapalıdır.Çünkü iki tamsayının toplamı tekrar bir tam sayıdır.

Örnek: T ={......,-3,-1,1,3,.......} tek tam sayılar kümesi (+) toplama işlemine göre kapalı değildir.Çünkü
-3 Î T ve 1 Î T için –3+1 = -2 Ï T dir.

Örnek: A ={1,2,3} kümesi üzerinde tanımlı * işleminin tablosu altta verilmiştir.

Buna göre * işleminin kapalılık özeliği olup Olmadığını inceleyiniz.
Tabloda işlem sonuçlarının bulunduğu alana bakarsak buradaki elemanların hepsi A kümesinin elemanıdır. O halde A kümesi * işlemine göre kapalıdır.


B. DEĞİŞME ÖZELİĞİ

Tanım: *, boş olmayan A kümesi üzerinde tanımlı bir işlem olsun.
"x,y Î A için x*y = y*x oluyorsa * işleminin değişme özeliği vardır denir.

Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı x*y = 3x+3y işleminin değişme özeliği olup olmadığını inceleyelim.
"x,y Î Z için x * y = y * x oluyorsa * işleminin değişme özeliği vardır denir.