TOPIC:

OLASILIK TEORİSİNİN AKSİYOMATİK YAPISI

Matematiğin aksiyomatik yapısının 3 temel unsuru vardır:

• Tanımsız terimler (Örn: Öklit geometrisinde nokta, doğru yada küme teorisinde küme, eleman)
• Tanımsız ilişkiler (Örn: doğru üzerinde bir nokta, X kümesinin elemanı)
• Aksiyomlar (Örn: iki noktadan bir doğru geçer). Aksiyomların sezgisel olarak doğrulukları açıktır ve ispatlamadan doğru olarak kabul edilirler.

Bu üç temel unsurdan yararlanarak, teoremler, yardımcı teoremler, sonuçlar vs. ile matematiksel yapı oluşturulur. Olasılık teorisi de aksiyomatik bir yapı olarak ele alınırken, olasılığın kendisi tanımsız bir terim olarak düşünülür. Yani olasılık teorisinde olasılığın ne olduğu sorusunun değil, nasıl hesaplanacağı sorusunun anlamı vardır.

Olasılık Teorisinin Aksiyomları:

S bir rastlantısal deneye ilişkin örnek uzay olsun. Olasılık teorisinde olasılığın ölçümünü sağlayacak aşağıdaki 3 aksiyoma başvurulur:

1. P( A )  0
2. P( S ) = 1
3. S örnek uzayı A1, A2,.....An,...... ayrık olaylarından oluşuyor ise;

P ( A1 U A2 U.....U An,...) = P (A1)+P (A2)+......+P (An)+...

Eşitliği yazılabilir. A olayının olasılığı P (A) daha önce tartışılan 3 tanımdan herhangi biriyle hesaplanabilir. Ancak hesaplanan bu olasılığın yukarıda verilen 3 aksiyomuda sağlaması gerekir.


Uygulama:

A1, A2, A3, A4 bir örneklem uzayını oluşturan ayrık olaylar ise, aşağıda bu olaylara ilişkin verilen olasılıkların uygunluğunu tartışalım.

(a) P (A1)=2 / 3 P (A2)=1 / 6 P (A3)= 1 / 12 P (A4)= 1/ 12

(b) P (A1)=1 / 4 P (A2)=2 / 4 P (A3)= 2 / 4 P (A4)= 1/ 4

(c) P (A1)=1 / 2 P (A2)=3 / 5 P (A3)= 1 / 5 P (A4)= 2/ 5

Verilen olasılıklar olasılık teorisinin 3 aksiyomu ile tutarlı olmak zorundadır.

(a) Olasılıkları hepsi pozitif olduğu için birinci aksiyomu (P (A1)  0) sağlanır. Toplamlar 1’ i verdiği için ikinci aksiyom ( P (S)= 1)sağlanır. Üçüncü aksiyom (P ( A1 U A2 U A3 U A4)=P(A1)+P (A2)+P (A3)+ P (A4)) olayların tanımından dolayı sağlanır. Öyleyse bu şıkta verilen olasılıklar tutarlıdır.

(b) Birinci aksiyom sağlanıyorsa da toplam olasılık (6 / 4) 1’ den büyüktür; dolayısıyla ikinci aksiyom sağlamaz. Bu yüzden olasılıklar geçerli değildir.

(c) P (A3) < 0 olduğu için birinci aksiyom sağlamaz. Bu yüzden olasılıklar geçersizdir.

Bazı Önemli Teoremler:

Ai, S örnek uzayında tanımlı bir olay olsun. P (Ai) olasılığının hesaplanmasında daha önce söz edilen 3 tanımdan da faydalanılabilir ve üç aksiyom kullanılarak çeşitli teorem ve sonuçlar elde edilebilir. Aşağıda bunlardan bazılarına yer verilmiştir.


Teorem 1: At, A olayının tümleyeni ise P (At ) = 1 – P (A)

Teorem 2: P (  ) = 0

Teorem 3: A1  A2 ise P (A1)  P (A2)

Teorem 4: P (A1 U A2) = P(A1) + P(A2) – P (A1A2)

3 olayda söz konusu ise;

P( A1 U A2 U A3)= P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1A2) – P(A1A3) – P(A2A3) + P(A1A2A3)

Olacaktır.

• (Boole eşitsizliği): P(A1 U A2)  P(A1) + P(A2)

4. teoremin bir sonucu olan Boole eşitsizliğinin genel hali ise

n n
PUAi =  P(Ai)
i=1 i=1


Olarak yazılabilir.

Teorem 5: 0  P (A)  1

Teorem 6: P (A) = P (AB) + P (ABt)